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TD1 - Conversions de bases

Objectifs
  • Convertir un nombre décimal en binaire (deux méthodes)
  • Convertir un nombre binaire en décimal
  • Convertir entre binaire et hexadécimal
  • Convertir un nombre décimal en hexadécimal
  • Comprendre le principe général des systèmes de numération en base quelconque et effectuer des conversions vers une base inconnue

Décimal → Binaire​

✏️Exercices
  1. 1
    En utilisant la méthode des divisions par 2, convertissez les nombres suivants en binaire en détaillant toutes les divisions :
    • 6
    • 11
    • 18
    • 37
    • 100
    • 200

On dispose du tableau de conversion suivant :

2⁷2⁶2⁵2⁴2³2²2¹2⁰
  1. 2
    Compléter la 2ème ligne du tableau avec les valeurs des puissances de 2 correspondante.
  2. 3
    Convertir en binaire avec cette méthode les nombres suivants:
    • 25
    • 47
    • 143
    • 255 - quel résultat particulier obtenez-vous ? Pourquoi ?
    • 256 - que se passe-t-il ?

Un capteur de température envoie ses données sur 1 octet.

  1. 4
    Convertir la valeur 23 en binaire.
  2. 5
    Combien de bits utilise-t-on pour stocker cette valeur ?
  3. 6
    Quelle est la valeur maximale que peut envoyer ce capteur ? Justifier.

Binaire → Décimal​

✏️Exercices
  1. 1

    Convertir les valeurs binaires suivantes en décimal en détaillant le calcul (somme des puissances de 2) :

    • 101
    • 1010
    • 11111
    • 10110100
    • 11001100
    • 11111111 - sans calculer, que vaut ce nombre ? Justifier.
  2. 2

    Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse, et la corriger si elle est fausse :

    • 1000₂ = 8₁₀
    • 1111₂ = 15₁₀
    • 10000₂ = 16₁₀
    • 11010₂ = 24₁₀
    • Un octet peut stocker la valeur 300.

Hexadécimal​

✏️Exercices
  1. 1
    Convertir en hexadécimal les valeurs suivantes. On pourra rajouter des 0 à droite pour faire des paquets de 4 si nécessaire :
    • 1010
    • 11001100
    • 10110111
    • 000111101010
    • 1111000010100101
  2. 2
    Convertir en binaire les valeurs suivantes :
    • 5
    • B
    • 2F
    • A9
    • FF
    • 1B4C
  3. 3
    En utilisant la méthode des divisions par 16, convertir en hexadécimal les valeurs décimales suivantes :
    • 15
    • 32
    • 160
    • 255
    • 4096 - que remarquez-vous ?

En design numérique, les couleurs sont souvent écrites en hexadécimal sous la forme #RRVVBB.

  1. 4

    Convertir les couleurs suivantes en triplets décimaux (R, V, B) :

    Code hexadécimalR (décimal)V (décimal)B (décimal)
    #FF0000
    #00FF00
    #0000FF
    #FFFF00
    #FF8000
  2. 5

    Convertir ces triplets décimaux en code hexadécimal :

    RVBCode hexadécimal
    255255255
    000
    1280128
    0200100
  3. 6

    Compléter chaque ligne du tableau sans utiliser de calculatrice.

    DécimalBinaireHexadécimal
    12
    01101001
    3A
    200
    11110000
    FF

Autres bases (défi : autonomie)​

Nous avons vu que le binaire utilise la base 2 et l'hexadécimal la base 16. En réalité, on peut construire un système de numération dans n'importe quelle base.

Principe général

Dans une base b, on dispose de b chiffres (de 0 à b−1), et chaque position correspond à une puissance de b.


La valeur d'un nombre s'obtient par la formule :

valeur=∑ichiffrei×bi\text{valeur} = \sum_{i} chiffre_i \times b^i, où i est le rang du chiffre en partant de 0 à droite.

Cette formule indique que la valeur calculée est égale à la somme de chaque chiffre i multiplié par b à la puissance i.


Exemple en base 10 : 273 = 2×10² + 7×10¹ + 3×10⁰

On fait bien la somme de chaque chiffre multiplié par 10 à la puissance du rang du chiffre.

Ce principe fonctionne pour toute base - il suffit de remplacer 10 par b.

Pour convertir un décimal vers une base b : on effectue des divisions successives par b et on lit les restes de bas en haut, exactement comme on le faisait par 2 ou par 16.

Base 6​

En base 6, les chiffres disponibles sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5.

✏️Exercices
  1. 1

    Compter en base 6 de 0 à 12 (en base 10) en remplissant ce tableau :

    DécimalBase 6
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
  2. 2

    Convertir ces nombres de la base 6 vers le décimal : 12₆ , 35₆ , 100₆ , 214₆

  3. 3

    Convertir ces nombres décimaux vers la base 6 : 10, 25, 48, 100

  4. 4

    Combien de valeurs différentes peut-on coder avec 3 chiffres en base 6 ?

Base 7​

En base 7, les chiffres disponibles sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

✏️Exercices
  1. 1
    Convertir de la base 7 vers le décimal : 6₇ , 10₇ , 24₇ , 130₇
  2. 2
    Convertir du décimal vers la base 7 : 7, 20, 50, 99
  3. 3
    Sans convertir vers le décimal, convertir directement 35₆ vers la base 7. Quelle difficulté rencontre-t-on ?